परिमेय संख्याओं और उनके दशमलव विस्तार का पुनः परीक्षण

#परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार

परिमेय संख्याओं के दशमलव विस्तार के निरूपण में जाने से पहले, आइए समझते हैं कि परिमेय संख्याएँ क्या हैं। कोई भी संख्या जिसे p/q के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसे कि p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 परिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। इसलिए जब इन संख्याओं को और सरलीकृत किया जाता है, तो वे दशमलव बन जाती हैं। आइए यहाँ जानें कि ऐसे दशमलवों का विस्तार कैसे किया जाता है।

उदाहरण: 6, -8.1, 4/5 आदि सभी परिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।

इस लेख में हम सीखेंगे-

1. परिमेय संख्याओं को दशमलव में कैसे विस्तारित करें?
2. प्रमेय
3. परिमेय संख्या से दशमलव उदाहरण

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1. दशमलव में परिमेय संख्याओं का विस्तार कैसे करें?

वास्तविक संख्याएँ जो प्रकृति में आवर्ती या अंत करने वाली होती हैं, वे आम तौर पर परिमेय संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 33.33333…… पर विचार करें। यह एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 100/3 के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह देखा जा सकता है कि दशमलव भाग .333…… गैर-समापन आवर्ती भाग है, यानी यह एक आवर्ती दशमलव संख्या है।

इसके अलावा 0.375, 0.6 आदि जैसे अंत करने वाले दशमलव जो तर्कसंगत होने की शर्त को पूरा करते हैं

किसी भी दशमलव संख्या पर विचार करें। उदाहरण के लिए 0.567, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है- 567/1000 or 567/103 . Similarly, the numbers 0.6689,0.032 and .45 can be written as 6689/104, 32/103, 45/102, क्रमशः भिन्नात्मक रूप में।

इस प्रकार, यह देखा जा सकता है कि किसी भी दशमलव संख्या को एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसका हर 10 की घातों में होता है। हम जानते हैं कि 10 के अभाज्य गुणनखंड 2 और 5 हैं, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि किसी भी दशमलव परिमेय संख्या को आसानी से p/q के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसे कि p और q पूर्णांक हैं और q का अभाज्य गुणनखंड 2x5y के रूप का है, जहाँ x और y गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

यह कथन एक बहुत ही महत्वपूर्ण प्रमेय को जन्म देता है।

2. Theorems

प्रमेय 1: यदि m कोई ऐसी परिमेय संख्या है जिसका दशमलव प्रसार प्रकृति में सांत है, तो m को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q सह-अभाज्य हैं और q का अभाज्य गुणनखंड 2x5y के रूप का है, जहाँ x और y ऋणेतर पूर्णांक हैं। इस प्रमेय का विलोम भी सत्य है और इसे निम्न प्रकार से कहा जा सकता है:

प्रमेय 2: यदि m एक परिमेय संख्या है, जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात अर्थात p/q के रूप में दर्शाया जा सकता है और q का अभाज्य गुणनखंड 2x5y के रूप में है, जहाँ x और y ऋणेतर पूर्णांक हैं, तो यह कहा जा सकता है कि m का दशमलव प्रसार सांत है।

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

आगे बढ़ते हुए, आवर्ती परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार पर, निम्नलिखित प्रमेय कहा जा सकता है:

प्रमेय 3: यदि m एक परिमेय संख्या है, जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात अर्थात p/q के रूप में दर्शाया जा सकता है और q का अभाज्य गुणनखंड 2x5y का रूप नहीं लेता है, जहाँ x और y गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। तब, यह कहा जा सकता है कि m का दशमलव प्रसार गैर-समापनीय दोहराव (आवर्ती) है।

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

3. परिमेय संख्या से दशमलव उदाहरण

स्थिति 1: शेष शून्य के बराबर

3/6 का दशमलव विस्तार ज्ञात करें

यहाँ, भागफल 0.5 है और शेष 0 है। परिमेय संख्या 3/6 का परिणाम एक सांत दशमलव होता है।

स्थिति 2: शेष शून्य के बराबर नहीं है

5/13 को दशमलव रूप में व्यक्त करें।

यहाँ, भागफल 0.384615384 है और शेष शून्य नहीं है। ध्यान दें कि दशमलव के बाद की संख्या…384 दोहराई जा रही है। इसलिए, 5/13 हमें एक गैर-समापन आवर्ती दशमलव विस्तार देता है। हम इसे फिर से इस प्रकार लिख सकते हैं-

एक परिमेय संख्या या तो अंत करने वाला या अन-अंत करने वाला आवर्ती दशमलव प्रसार देती है। इस प्रकार, हम कह सकते हैं कि वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार अंत करने वाला या अन-अंत करने वाला आवर्ती हो, परिमेय होती है।

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