अपरिमेय संख्याओं का पुनः परीक्षण

इस लेख में हम जानेंगे-

1. परिभाषा: अपरिमेय संख्याएँ क्या हैं?

2. अपरिमेय संख्याओं का प्रतीक

3. अपरिमेय संख्याओं के गुण

4. अपरिमेय संख्याओं की सूची

5. अपरिमेय संख्याओं का योग

6. अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल

7. अपरिमेय संख्या प्रमेय और प्रमाण

8. अपरिमेय संख्याएँ कैसे ज्ञात करें

9. हल किए गए प्रश्न

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1. परिभाषा: अपरिमेय संख्याएँ क्या हैं?

अपरिमेय का अर्थ है अनुपात न होना या उस संख्या के लिए कोई अनुपात नहीं लिखा जा सकता। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि अपरिमेय संख्याओं को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता। इसलिए, एक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या है जिसे पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, √2 एक अपरिमेय संख्या है। हम किसी भी अपरिमेय संख्या को अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं, जैसे कि p/q, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q≠0। फिर से, एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार न तो अंत करने वाला होता है और न ही आवर्ती।

उदाहरण:

अपरिमेय संख्याओं के सामान्य उदाहरण हैं pi(π=3⋅14159265…), √2, √3, √5, यूलर की संख्या (e = 2⋅718281…..), 2.010010001….,आदि।

मुख्य नियम-1:

वास्तविक संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। उदाहरण के लिए √2 और √ 3 आदि अपरिमेय हैं। जबकि कोई भी संख्या जिसे p/q के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसे कि, p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 एक परिमेय संख्या के रूप में जानी जाती है।

मुख्य नियम-2:

परिमेय संख्याएँ (Q) और अपरिमेय संख्याएँ (P या Q’) हमेशा एक दूसरे के साथ वैकल्पिक होती हैं।

इसलिए, 22/7 ≠ π लेकिन वे एक दूसरे के वैकल्पिक या बगल में हैं।

2. अपरिमेय संख्याओं का प्रतीक

आम तौर पर, अपरिमेय प्रतीक को दर्शाने के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला प्रतीक "P" होता है। चूँकि अपरिमेय संख्याओं को नकारात्मक रूप से परिभाषित किया जाता है, इसलिए वास्तविक संख्याओं (R) का वह समूह जो परिमेय संख्या (Q) नहीं है, उसे अपरिमेय संख्या कहा जाता है। वास्तविक और परिमेय संख्याओं के साथ जुड़ाव के कारण अक्सर प्रतीक P का उपयोग किया जाता है। (यानी,) वर्णमाला क्रम P, Q, R के कारण। लेकिन ज़्यादातर, इसे वास्तविक माइनस परिमेय संख्याओं के सेट अंतर का उपयोग करके दर्शाया जाता है, एक तरह से R- Q या R\Q।

3. अपरिमेय संख्याओं के गुण

चूँकि अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय हैं, इसलिए अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्या प्रणाली के सभी गुणों का पालन करेंगी। अपरिमेय संख्याओं के गुण निम्नलिखित हैं:

• अपरिमेय संख्या और परिमेय संख्या का योग एक अपरिमेय संख्या देता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि x एक अपरिमेय संख्या है, y एक परिमेय संख्या है और दोनों संख्याओं x + y का योग एक अपरिमेय संख्या z देता है।

• किसी भी अपरिमेय संख्या को किसी भी शून्येतर परिमेय संख्या से गुणा करने पर एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है। मान लें कि यदि xy=z परिमेय है, तो x =z/y परिमेय है, जो इस धारणा का खंडन करता है कि x अपरिमेय है। इस प्रकार, गुणनफल xy अपरिमेय होना चाहिए।

• किसी भी दो अपरिमेय संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मौजूद हो भी सकता है और नहीं भी।

• दो अपरिमेय संख्याओं का योग या गुणन परिमेय हो सकता है; उदाहरण के लिए, √2। √2 = 2. यहाँ, √2 एक अपरिमेय संख्या है।

• यदि इसे दो बार गुणा किया जाता है, तो प्राप्त अंतिम उत्पाद एक परिमेय संख्या है। (अर्थात) 2. अपरिमेय संख्याओं का समूह गुणन प्रक्रिया के अंतर्गत बंद नहीं होता है, जैसा कि परिमेय संख्याओं का समूह होता है।

4. अपरिमेय संख्याओं की सूची

प्रसिद्ध अपरिमेय संख्याओं में पाई, यूलर की संख्या और स्वर्ण अनुपात शामिल हैं। कई वर्गमूल और घनमूल संख्याएँ भी अपरिमेय होती हैं, लेकिन उनमें से सभी नहीं। उदाहरण के लिए, √3 एक अपरिमेय संख्या है, लेकिन √4 एक परिमेय संख्या है। क्योंकि 4 एक पूर्ण वर्ग है, जैसे 4 = 2 x 2 और √4 = 2, जो एक परिमेय संख्या है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। 

उदाहरण के लिए, मान लीजिए 1 और 2, 1 और 2 के बीच अनंत रूप से कई अपरिमेय संख्याएँ हैं। अब, आइए प्रसिद्ध अपरिमेय संख्याओं के मानों पर नज़र डालें।

नोट -

    √अभाज्य संख्या हमेशा एक अपरिमेय संख्या देती है।

    पाई, π = 3.14159265358979..

    यूलर की संख्या, e = 2.71828182845904..

    गोल्डन अनुपात, φ = 1.61803398874989..

5. दो अपरिमेय संख्याओं का योग

दो अपरिमेय संख्याओं का योग परिमेय या अपरिमेय हो सकता है। दो अपरिमेय संख्याओं के गुणनफल की तरह, दो अपरिमेय संख्याओं का योग भी एक परिमेय या अपरिमेय संख्या देगा।

उदाहरण के लिए, यदि हम दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ते हैं, जैसे कि 3√2+ 4√3, तो योगफल अपरिमेय संख्या होगी। लेकिन, आइए एक और उदाहरण लें, (3+4√2) + (-4√2), योगफल 3 है, जो एक परिमेय संख्या है। इसलिए, हमें दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ते और गुणा करते समय बहुत सावधान रहना चाहिए, क्योंकि इससे एक अपरिमेय संख्या या एक परिमेय संख्या प्राप्त हो सकती है।

6. दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल

दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल कभी-कभी परिमेय या अपरिमेय होता है। उदाहरण के लिए, √2 एक अपरिमेय संख्या है, लेकिन जब √2 को √2 से गुणा किया जाता है, तो हमें परिणाम 2 मिलता है, जो एक परिमेय संख्या है।

(अर्थात,) √2 x √2 = 2

हम जानते हैं कि π भी एक अपरिमेय संख्या है, लेकिन यदि π को π से गुणा किया जाए, तो परिणाम π2 होगा, जो एक अपरिमेय संख्या भी है।

 

(i.e..) π x π = π2

यह ध्यान रखना चाहिए कि दो अपरिमेय संख्याओं को गुणा करने पर परिणाम एक अपरिमेय संख्या या एक परिमेय संख्या हो सकती है।

7. अपरिमेय संख्या प्रमेय और प्रमाण

प्रमेय: दिया गया है कि p एक अभाज्य संख्या है और a2, p से विभाज्य है, (जहाँ a कोई भी धनात्मक पूर्णांक है), तो यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि p, a को भी विभाजित करता है।

प्रमाण: अंकगणित के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करते हुए, धनात्मक पूर्णांक को उसके अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

a = p1 × p2 × p3………..  × pn …..(1)

जहाँ, p1, p2, p3, ……, pn, a के सभी अभाज्य गुणनखंडों को दर्शाते हैं।

समीकरण (1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

a2 = ( p1 × p2 × p3………..  × pn) ( p1 × p2 × p3………..  × pn)

⇒a2 = (p1)2 × (p2)2 × (p3 )2………..× (pn)2

अंकगणित के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार, किसी प्राकृतिक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन, उसके गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर, अद्वितीय होता है।

a2 के एकमात्र अभाज्य गुणनखंड p1, p2, p3……….., pn हैं। यदि p एक अभाज्य संख्या है और a2 का गुणनखंड है, तो p, p1, p2, p3……….., pn में से एक है। इसलिए, p भी a का गुणनखंड होगा। 

इसलिए, यदि a2, p से विभाज्य है, तो p, a को भी विभाजित करता है। अब, इस प्रमेय का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि √ 2 अपरिमेय है।

8. अपरिमेय संख्याएँ कैसे ज्ञात करें

आइए 2 और 3 के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करें।  हम जानते हैं कि 4 का वर्गमूल 2 है; √4 =2

और 9 का वर्गमूल 3 है; √9 = 3

इसलिए, 2 और 3 के बीच अपरिमेय संख्याओं की संख्या √5, √6, √7 और √8 है, क्योंकि ये पूर्ण वर्ग नहीं हैं और इन्हें और सरल नहीं किया जा सकता है। इसी तरह, आप किसी भी अन्य दो पूर्ण वर्ग संख्याओं के बीच भी अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कर सकते हैं।

एक और मामला:

आइए √2 का मामला मान लें। अब, हम कैसे पता लगा सकते हैं कि √2 एक अपरिमेय संख्या है?

मान लीजिए √2 एक परिमेय संख्या है। फिर, परिमेय संख्याओं की परिभाषा के अनुसार, यह लिखा जा सकता है कि,

√ 2 =p/q …….(1)

जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और q ≠ 0 (सह-अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका सार्व गुणनखंड 1 है)।

समीकरण (1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमारे पास यह है

2 = p2/q2

⇒ p2 = 2 q 2    ………. (2)

ऊपर बताए गए प्रमेय से, यदि 2 p2 का अभाज्य गुणनखंड है, तो, p = 2 × c, जहाँ c एक पूर्णांक है। समीकरण (3) में p का यह मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह प्राप्त होता है

(2c)2 = 2 q 2

⇒ q2 = 2c 2 

इसका तात्पर्य यह है कि 2, q2 का भी एक अभाज्य गुणनखंड है। प्रमेय से फिर से, यह कहा जा सकता है कि 2, q का भी एक अभाज्य गुणनखंड है।

प्रारंभिक धारणा के अनुसार, p और q सह-अभाज्य हैं, लेकिन ऊपर प्राप्त परिणाम इस धारणा का खंडन करता है क्योंकि p और q में 1 के अलावा एक सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2 है। यह विरोधाभास इस गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ कि √2 परिमेय है। इसलिए, मूल 2 अपरिमेय है।

इसी तरह, हम शुरुआत में चर्चा किए गए कथन को सही ठहरा सकते हैं कि यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो √ p एक अपरिमेय संख्या है। इसी तरह, यह साबित किया जा सकता है कि किसी भी अभाज्य संख्या p के लिए, √ p अपरिमेय है।

9. हल किए गए प्रश्न

प्रश्न 1. क्या अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं?

गणित में, सभी अपरिमेय संख्याओं को वास्तविक संख्याएँ माना जाता है, जिन्हें परिमेय संख्याएँ नहीं माना जाना चाहिए। इसका मतलब है कि अपरिमेय संख्याओं को दो संख्याओं के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जो वर्गमूल पूर्ण नहीं हैं, वे हमेशा अपरिमेय संख्या में परिणत होंगे।

प्रश्न 2. क्या पाई एक अपरिमेय संख्या है?

हाँ, पाई (π) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि यह न तो अंत करने वाला है और न ही दोहराए जाने वाला दशमलव है। साथ ही, पाई 22/7 के बराबर नहीं है क्योंकि 22/7 एक परिमेय संख्या है जबकि पाई एक अपरिमेय संख्या है। π का ​​मान 3.141592653589 है………..

प्रश्न 3: निम्नलिखित में से कौन सी परिमेय संख्याएँ या अपरिमेय संख्याएँ हैं?

2, -.45678…, 6.5, √ 3, √ 2

परिमेय संख्याएँ – 2, 6.5 क्योंकि इनके दशमलव अंत होते हैं।

अपरिमेय संख्याएँ – -.45678…, √ 3, √ 2 क्योंकि इनके दशमलव प्रसार में अंत न होने वाला गैर-दोहराव होता है।

प्रश्न 4: जाँच करें कि नीचे दी गई संख्याएँ परिमेय हैं या अपरिमेय।
2, 5/11, -5.12, 0.31
चूँकि परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो अंत होता है या दोहराया जाता है। इसलिए, 2, 5/11, -5.12, 0.31 सभी परिमेय संख्याएँ हैं।

प्रश्न 5. क्या पूर्णांक अपरिमेय संख्याएँ हैं?
पूर्णांक परिमेय संख्याएँ हैं लेकिन अपरिमेय नहीं हैं। सभी पूर्णांक चाहे वे धनात्मक हों या ऋणात्मक या शून्य हों, उन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण: 2, 3 और 5 परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि हम उन्हें 2/1, 3/1 और 5/1 के रूप में दर्शा सकते हैं।

प्रश्न 6. मुख्य अपरिमेय संख्याएँ क्या हैं?
सबसे आम अपरिमेय संख्याएँ हैं:
    पाई (π) = 22/7 = 3.14159265358979…
    यूलर की संख्या, e = 2.71828182845904…
    गोल्डन अनुपात, φ = 1.61803398874989….

   मूल, √ = √2, √3, √5, √7, √8, मूल के अंतर्गत कोई भी संख्या जिसे आगे सरल नहीं किया जा सकता।

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