गणित का मौलिक सिद्धांत

इस लेख में हम जानेंगे-

1. अंकगणित का मूलभूत सिद्धांत: एक परिचय
2. मुख्य बिंदु
3. उदाहरण
4. प्रमाण
5. महत्व
6. अनुप्रयोग

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1. अंकगणित का मूलभूत सिद्धांत: एक परिचय

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को उसके अभाज्य संख्याओं की घात के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सभी प्राकृतिक संख्याओं को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। याद रहे, अभाज्य गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। इस कथन को अंकगणित का मूलभूत सिद्धांत, अद्वितीय गुणनखंड प्रमेय या अद्वितीय-अभाज्य-गुणनखंड प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्या 35 को इसके अभाज्य गुणनखंडों के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

35 = 7 × 5

यहाँ, 7 और 5, 35 के अभाज्य गुणनखंड हैं

इसी प्रकार, एक अन्य संख्या 114560 को अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करके इसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है,

114560 = 27 × 5 × 179

इसलिए, हमने 114560 को इसके अभाज्य संख्याओं की घात के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया है।

2. मुख्य बिंदु:

• अभाज्य संख्या: 1 से बड़ी वह संख्या जिसका 1 और स्वयं के अलावा कोई अन्य भाजक न हो।
• मिश्र संख्या: वह संख्या जिसे 1 और स्वयं के अलावा अन्य संख्याओं से विभाजित किया जा सकता है, अर्थात इसे छोटी संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है।

किसी भी पूर्णांक के लिए $n>1$, अभाज्य संख्याएँ मौजूद हैं $p_1,p_2,\dots ,p_k$ और धनात्मक पूर्णांक  $a_1,a_2,\dots ,a_{\mathrm{k }}$

${\mathrm{ऐसा\; है\; कि }}_{}$

${}_{}$

​​

यह अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है, केवल उस क्रम को छोड़कर जिसमें अभाज्य गुणनखंड प्रकट होते हैं।

3. उदाहरण:

उदाहरण-1:

उदाहरण-2:

मान लीजिए n= 60

60 का अभाज्य गुणनखंडन है:

60=22×3×5

यहाँ, अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं, और गुणनखंडन अद्वितीय है।

उदाहरण-3: 

एक फॉर्मूला रेसिंग प्रतियोगिता में दो रेसिंग कारों A और B द्वारा ट्रैक का 1 चक्कर पूरा करने में लिया गया समय क्रमशः 30 मिनट और 45 मिनट है। कितने समय के बाद कारें फिर से शुरुआती बिंदु पर मिलेंगी?

चूंकि कार B द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय A की तुलना में अधिक है, इसलिए यह माना जा सकता है कि A जल्दी पहुँच जाएगी और दोनों कारें फिर से मिलेंगी जब A पहले से ही शुरुआती बिंदु पर पहुँच चुकी होगी। इस समय की गणना प्रत्येक द्वारा लिए गए समय का L.C.M ज्ञात करके की जा सकती है।

        30 = 2 × 3 × 5

        45 = 3 × 3 × 5

        L.C.M 90 है।

इस प्रकार, दोनों कारें 90 मिनट के बाद शुरुआती बिंदु पर मिलेंगी।

4. प्रमाण:

संख्या सिद्धांत में, एक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है और यह गुणनखंडन उस क्रम के अलावा अद्वितीय होता है जिसमें अभाज्य गुणनखंड होता है। इस प्रमेय से, हम यह भी देख सकते हैं कि न केवल एक भाज्य संख्या को उनके अभाज्य संख्याओं के गुणनखंड के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, बल्कि प्रत्येक भाज्य संख्या के लिए गुणनखंडन अद्वितीय होता है, जिसमें अभाज्य गुणनखंडों के घटित होने के क्रम को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

सरल शब्दों में, अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल द्वारा एक प्राकृतिक संख्या को दर्शाने का केवल एक ही तरीका मौजूद है। इस तथ्य को इस प्रकार भी कहा जा सकता है:

किसी भी प्राकृतिक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन उनके गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर अद्वितीय कहा जाता है। सामान्य तौर पर, एक भाज्य संख्या “a” को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,

a = p1 p2 p3 ………… pn, जहाँ p1, p2, p3 ………… pn, a के अभाज्य गुणनखंड हैं, जिन्हें बढ़ते क्रम में लिखा जाता है, अर्थात p1≤p2≤p3 ………… ≤pn।

अभाज्य संख्याओं को बढ़ते क्रम में लिखने से गुणनखंडन अद्वितीय प्रकृति का हो जाता है।

5. महत्व:

अंकगणित का मूलभूत सिद्धांत यह सुनिश्चित करता है कि 1 से बड़ा कोई भी पूर्णांक अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ा जा सकता है।

6. अनुप्रयोग:

• सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD): अभाज्य गुणनखंड दो संख्याओं का GCD ज्ञात करने में मदद करता है।
• लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): यह LCM की गणना करने में भी उपयोगी है।
• क्रिप्टोग्राफी: अभाज्य गुणनखंड RSA जैसे आधुनिक एन्क्रिप्शन एल्गोरिदम की रीढ़ है।

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