यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका
इस लेख में हम जानेंगे-
1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: एक परिचय
2. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: सूत्र
3. HCF की गणना करने के लिए एल्गोरिथ्म
4. हल किए गए उदाहरण
1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: एक परिचय
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका संख्या सिद्धांत में एक मौलिक सिद्धांत है और दो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का आधार बनाता है।
यह प्रमेयिका अनिवार्य रूप से विभाजन प्रक्रिया को व्यक्त करने का एक औपचारिक तरीका है, जहाँ आप a को b से विभाजित करके भागफल q और शेष r प्राप्त करते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि शेष हमेशा भाजक b से कम होता है।
2. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका: सूत्र
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका या यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म बताता है कि धनात्मक पूर्णांक a और b दिए जाने पर, a = bq + r, 0 ≤ r < b को संतुष्ट करने वाले अद्वितीय पूर्णांक q और r मौजूद होते हैं।
जहाँ,
a लाभांश है,
b भाजक है,
q भागफल है, और
r शेष है।
3. HCF की गणना करने के लिए एल्गोरिथ्म
HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो दो या अधिक धनात्मक पूर्णांकों को पूर्णतः विभाजित करती है। यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथ्म का आधार यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका है। दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के उच्चतम सामान्य गुणनखंड (HCF) की गणना करने के लिए हम यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं।
दो धनात्मक पूर्णांकों, मान लीजिए c और d का HCF प्राप्त करने के लिए, जहाँ c > d है, नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:
- चरण 1: c और d पर यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका लागू करें। इसलिए, हम पूर्ण संख्याएँ, q और r पाते हैं जैसे कि c = dq + r, 0 ≤ r < d.
- चरण 2: यदि r = 0, d c और d का HCF है। यदि r ≠ 0, तो विभाजन प्रमेयिका को d और r पर लागू करें।
- चरण 3: उपरोक्त चरणों को तब तक जारी रखें जब तक कि हमें शेष शून्य न मिल जाए। इस स्तर पर भाजक आवश्यक HCF होगा।
4. हल किए गए उदाहरण:
उदाहरण-1. यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके 81 और 675 का HCF ज्ञात करें।
समाधान:
बड़ा पूर्णांक 675 है, इसलिए, विभाजन प्रमेयिका a = bq + r लागू करके जहाँ 0 ≤ r < b, हमारे पास है
a = 675 और b = 81
⇒ 675 = 81 × 8 + 27
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म को फिर से लागू करके हमारे पास है,
81 = 27 × 3 + 0
हम आगे नहीं बढ़ सकते क्योंकि शेष शून्य हो जाता है। एल्गोरिथ्म के अनुसार, इस मामले में, भाजक 27 है। इसलिए, 675 और 81 का HCF 27 है।
उदाहरण-2. 4052 और 12576 का HCF क्या है?
समाधान:
12576, 4052 से बड़ा है।
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म को लागू करते हुए,
12576 = 4052 × 3 + 420
4052 = 420 × 9 + 272
272 = 148 × 1 + 124
148 = 124 × 1 + 24
124 = 24 × 5 + 4
24 = 4 × 6 + 0
इसलिए, 4052 और 12576 का HCF 4 है।
उदाहरण-3. 225 और 867 का HCF क्या है?
समाधान:
867, 225 से बड़ा है
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म लागू करने पर,
867 = 225 × 3 + 192
225 = 192 × 1 + 33
192 = 33 × 5 + 27
33 = 27 × 1 + 6
27 = 6 × 4 + 3
6 = 3 × 2 + 0
इसलिए, HCF(867, 225) = 3.
उदाहरण-4. 196 और 38220 का HCF क्या है?
समाधान:
38220, 196 से बड़ा है। यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म को लागू करने पर, 38220 = 196 × 195 + 0 इसलिए, 196 और 38220 का एचसीएफ 196 है।
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