वास्तविक संख्याए

इस लेख में हम जानेंगे-

1. वास्तविक संख्या क्या है और परिभाषा

2. वास्तविक संख्याओं का समूह

3. वास्तविक संख्याओं का चार्ट

4. वास्तविक संख्याओं के गुण

5. हल किए गए उदाहरण

6. अभ्यास प्रश्न

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1. वास्तविक संख्या क्या है और परिभाषा?

वास्तविक संख्याओं को परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याओं के मिलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। वे धनात्मक या ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं और उन्हें "R" चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। सभी प्राकृतिक संख्याएँ, दशमलव और भिन्न इस श्रेणी में आते हैं। नीचे दिया गया चित्र देखें, जो वास्तविक अंकों के वर्गीकरण को दर्शाता है।

तो, वास्तविक संख्याएँ संख्या प्रणाली में परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संयोजन हैं। सामान्य तौर पर, इन संख्याओं पर सभी अंकगणितीय ऑपरेशन किए जा सकते हैं और उन्हें संख्या रेखा में भी दर्शाया जा सकता है। वहीं, काल्पनिक संख्याएँ अवास्तविक संख्याएँ होती हैं, जिन्हें संख्या रेखा में व्यक्त नहीं किया जा सकता है और आमतौर पर इनका उपयोग जटिल संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्याओं के कुछ उदाहरण 23, -12, 6.99, 5/2, π इत्यादि हैं। 

2. वास्तविक संख्याओं का समूह

वास्तविक संख्याओं के समूह में विभिन्न श्रेणियाँ होती हैं, जैसे प्राकृतिक और पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ। नीचे दी गई तालिका में, सभी वास्तविक संख्याओं के सूत्र (यानी) वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण का प्रतिनिधित्व उदाहरणों के साथ परिभाषित किया गया है।

3. वास्तविक संख्या चार्ट

4. वास्तविक संख्याओं के गुण

वास्तविक संख्याओं के चार मुख्य गुण निम्नलिखित हैं:

• विनिमेय गुण
• सहयोगी गुण
• वितरण गुण
• पहचान गुण

मान लीजिए “m, n और r” तीन वास्तविक संख्याएँ हैं। फिर उपरोक्त गुणों को m, n, और r का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

4.1 विनिमेय गुण

यदि m और n संख्याएँ हैं, तो सामान्य रूप जोड़ के लिए m + n = n + m और गुणन के लिए m.n = n.m होगा।

• जोड़: m + n = n + m. उदाहरण के लिए, 5 + 3 = 3 + 5, 2 + 4 = 4 + 2.
• गुणन: m × n = n × m. उदाहरण के लिए, 5 × 3 = 3 × 5, 2 × 4 = 4 × 2.

4.2 साहचर्य गुण

यदि m, n और r संख्याएँ हैं। सामान्य रूप जोड़ के लिए m + (n + r) = (m + n) + r होगा(mn) गुणन के लिए r = m (nr)।

• जोड़: सामान्य रूप m + (n + r) = (m + n) + r होगा। योगात्मक साहचर्य गुण का एक उदाहरण 10 + (3 + 2) = (10 + 3) + 2 है।
• गुणन: (mn) r = m (nr)। गुणनात्मक साहचर्य गुण का एक उदाहरण (2 × 3) 4 = 2 (3 × 4) है।

4.3 वितरण गुण

तीन संख्याओं m, n, और r के लिए, जो प्रकृति में वास्तविक हैं, वितरण गुण को इस प्रकार दर्शाया जाता है:

m (n + r) = mn + mr और (m + n) r = mr + nr।

• वितरण गुण का उदाहरण है: 5(2 + 3) = 5 × 2 + 5 × 3। यहाँ, दोनों पक्षों से 25 प्राप्त होगा।

4.4 पहचान गुण

योगात्मक और गुणात्मक पहचान हैं।

• जोड़: m + 0 = m। (0 योगात्मक पहचान है)
• गुणन: m × 1 = 1 × m = m. (1 गुणनात्मक पहचान है)

5. हल किए गए उदाहरण

उदाहरण-1: 1/2 और 3/5 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ ज्ञात करें।

समाधान:

हम दी गई दोनों परिमेय संख्याओं के हर को समान बनाएँगे

(1 × 5)/(2 × 5) = 5/10 और (3 × 2)/(5 × 2) = 6/10

अब, दोनों परिमेय संख्याओं के अंश और हर को 6 से गुणा करें, हमें प्राप्त होगा

(5 × 6)/(10 × 6) = 30/60 और (6 × 6)/(10 × 6) = 36/60

1/2 = 30/60 और 3/5 = 36/60 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ हैं

31/60, 32/60, 33/60, 34/60, 35/60.

उदाहरण 2: निम्नलिखित के दशमलव समतुल्य लिखें:

(i) 1/4 (ii) 5/8 (iii) 3/2

समाधान:

(i) 1/4 = (1 × 25)/(4 × 25) = 25/100 = 0.25

(ii) 5/8 = (5 × 125)/(8 × 125) = 625/1000 = 0.625

(iii) 3/2 = (3 × 5)/(2 × 5) = 15/10 = 1.5

उदाहरण 3: उत्तर 1 प्राप्त करने के लिए 1.25 से क्या गुणा करना चाहिए? 

समाधान:

1.25 = 125/100

अब यदि हम इसे 100/125 से गुणा करते हैं, तो हमें मिलता है

125/100 × 100/125 = 1

6. अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1. सबसे छोटी भाज्य संख्या कौन सी है?

प्रश्न 2. सिद्ध करें कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6x + 1, 6x + 3 या 6x + 5 के रूप का होता है।

प्रश्न 3. 2 + 3 × 6 – 5 का मूल्यांकन करें।

प्रश्न 4. शून्येतर परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का गुणनफल क्या है?

प्रश्न 5. क्या प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को 4x + 2 (जहाँ x एक पूर्णांक है) के रूप में दर्शाया जा सकता है?

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